La Proporción Áurea.
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Secuencia y Proporciones de Fibonacci
Si bien Leonardo Fibonacci no fue el descubridor del número áureo, su célebre secuencia, presentada en el «Liber Abaci» en 1202, está íntimamente vinculada con este número, aspecto central de mi tesis. Esta conexión se manifiesta en el hecho de que el cociente de números sucesivos en la secuencia de Fibonacci converge hacia Phi (ϕ) a medida que la secuencia progresa.
Leonardo Fibonacci, en el siglo XIII, reveló una secuencia numérica que no solo define matemáticamente la espiral logarítmica observada en patrones de crecimiento y decrecimiento en la naturaleza, sino que también encuentra su aplicación en la descripción de fenómenos en los mercados financieros. Esta secuencia, que posteriormente llevaría su nombre, se ha convertido en una herramienta esencial para entender las proporciones intrínsecas en los patrones de las Ondas de Elliott, tal como lo demostró Ralph Nelson Elliott en los años 1930. Elliott descubrió que las ondas que conforman los patrones de mercado respetan proporciones definidas por la secuencia de Fibonacci, permitiendo así la realización de pronósticos de precios y la determinación de puntos de finalización de las ondas. Por ejemplo, la onda c de un patrón correctivo tipo ‘Flat’ debe alcanzar al menos el 38.2% de la onda a. La observancia de estas proporciones, junto con los requisitos de la estructura interna de las ondas (conforme a los perfiles de las distintas formaciones de las ondas de Elliott), facilita la predicción de los términos de los movimientos ondulatorios y, consecuentemente, los puntos de reversión del mercado.
En su obra «Liber Abbaci», Leonardo Fibonacci da Pisa plantea cinco cuestiones:
- Sistema Numérico Hindú-Árabe: Fibonacci introdujo el sistema numérico hindú-árabe en Europa, explicando cómo los diez dígitos y el concepto de cero podían ser utilizados en cálculos, reemplazando los numerales romanos. Esto revolucionó las prácticas contables y matemáticas en Europa.
- Problema de los Conejos: Quizás la parte más famosa del «Liber Abbaci» es el problema de los conejos que llevó a la introducción de la secuencia de Fibonacci. El problema plantea una situación hipotética sobre la reproducción de conejos que conduce a una secuencia numérica donde cada número es la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …), lo que revela una estructura matemática subyacente en fenómenos naturales y humanos.
- Problemas Prácticos de Comercio y Finanzas: El libro contiene una colección de problemas relacionados con el comercio y las finanzas, como la conversión de monedas, el cálculo de intereses, la resolución de problemas de asociación y mezclas, y otros temas que eran esenciales para los comerciantes de la época.
- Álgebra y Ecuaciones: Fibonacci abordó también ecuaciones lineales y cuadráticas, mostrando soluciones y métodos para resolverlas, lo que constituyó un avance significativo en la matemática de la época.
- Proporción y Razón: Introduce y explica el concepto de proporción, fundamental para la matemática y la ciencia, estableciendo una base para futuras investigaciones y aplicaciones en diversos campos.
La suma de dos números adyacentes en la secuencia de Fibonacci siempre resulta en el siguiente número más alto, como muestra el siguiente ejemplo de cálculo:
- Dos números, empezando con 1:
- Suma de ambos números:
- Secuencia de números:
- Suma de los dos últimos números:
- Nueva secuencia de números:
- Suma de los dos últimos números:
- Nueva secuencia de números:
- etcétera.
1 y 2
1+2=3
1 1 2 3
2+3=5
1 1 2 3 5
3+5=8
1 1 2 3 5 8
etcétera.
La verdadera maravilla de esta secuencia numérica radica en la proporción que emerge entre los números sucesivos, no en los números en sí. Al calcular el cociente entre dos números consecutivos, dividiendo el más pequeño entre el más grande, el resultado se acerca a 1.618 conforme avanzamos en la secuencia, aproximándonos al número áureo. Invertir este cociente, dividiendo el número mayor por el menor de los adyacentes, nos acerca a 0.618. Además, al dividir un número de la secuencia por otro situado dos posiciones atrás, el cociente resultante se acerca a 2.618, mientras que su inversa tiende hacia 0.382.
Proporciones de números de Fibonacci:
89: 55 = 1.6181818
55: 34 = 1.6176471
34: 21 = 1.6190476
55: 89 = 0.6179775
Calculo inverso:
34: 55 = 0.6181818
21: 34 = 0.6176471
89: 34 = 2.6176471
55: 21 = 2.6190476
34: 13 = 2.6153846
34: 89 = 0.3820224
21: 55 = 0.3818181
13: 34 = 0.3823529
etcétera.
Estas relaciones proporcionales no son aleatorias; reflejan una constante matemática que se manifiesta en la secuencia y que tiene aplicaciones trascendentales en diversas áreas, desde la arquitectura, desde el arte hasta la naturaleza y la ciencia financiera. Estas proporciones de Fibonacci son esenciales en el análisis de los mercados financieros ya que se aplican para determinar posibles niveles de soporte y resistencia, así como para prever posibles objetivos de precio y puntos de reversión en las tendencias del mercado, alineándose con los patrones identificados por la teoría de las ondas de Elliott.
Los cocientes no se limitan únicamente al problema de los conejos mencionado como ejemplo, sino que también se pueden derivar de otro punto de partida. Se suman dos números elegidos arbitrariamente y el resultado de la suma se utiliza como el tercer número para crear una secuencia. Luego, se suman siempre los dos últimos números, lo que da como resultado el siguiente número en la secuencia que se está formando. La relación entre los dos últimos números muestra constantemente una proporción aproximada de 1:1.618. Cuanto más crece esta secuencia, más exacta se vuelve la relación de 1:1.618. La siguiente tabla ilustra esta circunstancia.
Dos números elegidos al azar:
Suma de ambos números: 11 y 80
Secuencia de números: 11 + 80 = 91
Suma de los dos últimos números: 11 80 91
Nueva secuencia de números: 80 + 91 = 171
Suma de los dos últimos números: 11 80 91 171
Nueva secuencia de números: 91 + 171 = 262
11 80 91 171 262
etc.
Nueva secuencia de números: 11 80 91 171 262
433 695 1128
etc.
Si comenzamos con los números 3 y 5 y seguimos la secuencia sumando el último número con el anterior, obtenemos la siguiente serie:
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Cuando calculamos las proporciones de un número con respecto al siguiente en la secuencia, observamos que estas proporciones se acercan cada vez más al número áureo (aproximadamente 1.618) a medida que avanzamos en la secuencia. Vamos a calcular algunas proporciones:
5 / 3 ≈ 1.6667
3 / 5 ≈ 1.6667
8 / 5 = 1.6
5 / 8 = 1.6
13 / 8 ≈ 1.625
8 / 13 ≈ 1.625
21 / 13 ≈ 1.6154
13 / 21 ≈ 1.6154
34 / 21 ≈ 1.619
21 / 34 ≈ 1.619
55 / 34 ≈ 1.6176
34 / 55 ≈ 1.6176
89 / 55 ≈ 1.6182
55 / 89 ≈ 1.6182
144 / 89 ≈ 1.6180
89 / 144 ≈ 1.6180
233 / 144 ≈ 1.6181
144 / 233 ≈ 1.6181
Como se puede ver, las proporciones se estabilizan alrededor de 1.618, lo cual es una manifestación del número áureo en la secuencia de Fibonacci. La aplicación de los cálculos inversos también arroja proporciones similares a las discutidas en los ejemplos de relaciones iniciales. Las posibles proporciones derivadas de la secuencia de Fibonacci exhiben muchas otras peculiaridades, que no se explorarán en profundidad en este contexto. Lo sorprendente es que las relaciones numéricas de Fibonacci se observan en una variedad de fenómenos naturales. Por ello, en varios momentos de la historia, se han considerado como el secreto del universo, ya que describen de manera casi mística la estructura de galaxias, conchas de caracoles y muchos otros objetos y por supuesto el mercado financiero. En particular, la cultura egipcia incorporó las proporciones de Fibonacci en sus construcciones, otorgándoles un papel central tanto desde puntos de vista filosóficos como prácticos.
Aquí algunos ejemplos adicionales de proporciones dentro de la secuencia de Fibonacci:
2,618 – 1,618 = 1
1 – 0,618 = 0,382
2,618 x 0,382 = 1
1,618 – 0,618 = 1
0,618 x 0,618 = 0,382
2,618 x 0,618 = 1,618
Ralph Nelson Elliott aplicó la secuencia de Fibonacci a los movimientos del mercado bursátil en la década de 1930 y desarrolló la teoría de las Ondas de Elliott. Como se ha descrito detalladamente, Elliott definió los movimientos del mercado como ondas y los dividió en movimientos de onda ascendentes y descendentes. La onda descendente la dividió en tres subondas, mientras que la ascendente en cinco subondas, de modo que una onda de Elliott completa consta de ocho subondas en total. Las subondas y los patrones que forman están relacionados en su formación de precios y temporalidad en proporciones definidas por la secuencia de Fibonacci.
0,618 / 1,618 = 0,382
1 / 1,618 = 0,618
1,618 x 1,618 = 2,618
0,618 x 1,618 = 1
1 x 1,618 = 1,618
2,618 x 1,618 = 4,236
- 0,236
- 0,382
- 0,500
- 0,618
- 1,618
- 2,618
- 4,236
- 6,853
La precisión con la que la secuencia de Fibonacci se aproxima a la relación áurea de 1:1.618 se intensifica conforme avanzamos en la secuencia, lo que tiene una repercusión significativa en la implementación práctica de la teoría de las Ondas de Elliott. En este marco, la correlación entre las proporciones de las subondas y los patrones que estas configuran se alinea más estrechamente con las proporciones de Fibonacci a medida que aumenta la liquidez del mercado. Desde la perspectiva de las Ondas de Elliott, un mercado es considerado líquido cuando los movimientos de precios emergen de un volumen considerable de operaciones independientes.
Respecto al factor temporal, la metodología de las Ondas de Elliott requiere un lapso mínimo para garantizar que se ejecuten transacciones suficientes por unidad de tiempo, permitiendo así que las estructuras de onda adopten las proporciones numéricas específicas. Un intervalo mínimo adecuado, por ejemplo, podría ser representado por un historial de precios en intervalos de 5 minutos.
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